De nouvelles formules de dérivation - Approfondissement

Dérivée de la fonction inverse

La fonction inverse définie sur \(\mathbb{R}^*\) par \(f(x)=\dfrac{1}{x}\) est dérivable sur  \(]-\infty~;0[\) ,  ainsi que sur   \(]0~;+\infty[\) . De plus, pour tout réel `x` non nul, \(f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}\) .

Dérivées et opérations

Soit `u` et `v` deux fonctions définies et dérivables sur un même intervalle `I` .

• La fonction \(u \times v\)  est dérivable sur `I` et    \((u \times v)'=u'\times v+u \times v'\)  .
• Si la fonction `v` ne s'annule pas sur `I` , la fonction \(\dfrac{1}{v}\) est dérivable sur `I` et  \(\left(\dfrac{1}{v}\right)'=-\dfrac{v'}{v^2}\) .
  
• Si la fonction `v` ne s'annule pas sur `I` , la fonction \(\dfrac{u}{v}\) est dérivable sur `I` et \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u' \times v - u \times v'}{v^2}\)  .

 Exemple 1

Soit `f` la fonction définie sur \(\mathbb{R}^*\) par \(f(x)=3x^2-\dfrac{2}{x}\) .

Pour tout réel `x` non nul, \(f(x)=3x^2-2 \times \dfrac{1}{x}\) .

La fonction `f` est dérivable sur  \(]-\infty~;0[\)  et  \(]0~;+\infty[\) et, pour tout réel `x` non nul, \(f'(x)=3 \times 2x-2 \times \left(-\dfrac{1}{x^2}\right)\)  soit \(f'(x)=6x+\dfrac{2}{x^2}\) .

Exemple 2

Soit `g` la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x)=(2x-6)(x^2-3)\) .

La fonction `g` est de la forme \(u \times v\) donc on peut appliquer la formule de dérivation du produit.

\(\begin{array}{l|c} \text{La fonction }g\text{ est dérivable sur }\mathbb{R} \text{ et, pour tout réel }x, &(u \times v)'=u'\times v+u \times v' \\g'(x)=2 \times (x^2-3)+(2x-6)\times 2x&u(x)=2x-6 \text{ et } v(x)=x^2-3 \\g'(x)=2x^2-6+4x^2-12x&u'(x)=2 \text{ et } v'(x)=2x \\g'(x)=6x^2-12x-6&\\\end{array}\)

Remarque

Pour calculer la dérivée de la fonction `g` , on aurait aussi pu commencer par développer `g(x)` :

pour tout réel `x` , \(g(x)=2x^3-6x-6x^2+18\) donc \(g'(x)=2 \times 3x^2-6-6 \times 2x\) soit \(g'(x)=6x^2-12x-6\) .

Exemple 3

Soit `h` la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(h(x)=\dfrac{4}{x^2+1}\) .

Pour tout réel `x` , \(h(x)=4 \times \dfrac{1}{x^2+1}\) : on peut donc appliquer la formule de dérivation de l'inverse.

\(\begin{array}{l|c} \text{La fonction }h\text{ est dérivable sur }\mathbb{R} \text{ et, pour tout réel }x, &\left(\dfrac{1}{v}\right)'=-\dfrac{v'}{v^2} \\h'(x)=4 \times \left(-\dfrac{2x}{(x^2+1)^2}\right)&v(x)=x^2+1 \\h'(x)=-\dfrac{8x}{(1+x^2)^2}&v'(x)=2x \\ \end{array}\)

Exemple 4

Soit `k` la fonction définie sur \(]1~;+\infty[\) par \(k(x)=\dfrac{3x-5}{x-1}\) .

La fonction `k` est de la forme \(\dfrac{u}{v}\)  : on peut donc appliquer la formule de dérivation du quotient.

\(\begin{array}{l|c} \text{La fonction }k\text{ est dérivable sur }]1~;+\infty[ \text{ et, pour tout }x>1, &\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u' \times v - u \times v'}{v^2} \\k'(x)=\dfrac{3\times(x-1)-(3x-5)\times 1}{(x-1)^2}&u(x)=3x-5\text{ et }v(x)=x-1 \\k'(x)=\dfrac{3x-3-3x+5}{(x-1)^2}&u'(x)=3 \text{ et }v'(x)=1 \\k'(x)=\dfrac{2}{(x-1)^2}& \\ \end{array}\)